Question

已知函数，其中a>0.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数a的值；

（Ⅲ）设，求在区间上的最大值（其中e为自然对的底数）。

Answer

（Ⅰ）函数的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）在区间上的最大值为０．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的单调区间，首先对函数求导，得函数导函数，直接让导函数大于0，解出大于零的范围，就求出增区间，令导函数小于0，解出小于零的范围，从而求出减区间；（Ⅱ）直线是曲线的切线，由导数的几何意义，利用切线的斜率即为切点处的导数值，以及切点即在直线上，又在曲线上，即为的共同点，联立方程组，解方程组，即可求实数的值；（Ⅲ）求在区间上的最大值，可利用导数来求，先求出的解析式，由的解析式求出的导函数，令的导函数，解出的值，从而确定最大值，由于含有参数，因此需分情况讨论，从而求得其在区间上的最大值．

试题解析：(Ⅰ）①（）

令，则，又的定义域是

∴函数f(x)的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）

（II）设切点为则   解得      7分

（III）      

令，则，

①当时，在单调增加      9分

②当时，在单调减少，在单调增加；

若时，；

若时，；        11分

③当时，在上单调递减，；

综上所述，时，；

时，。        14分

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．