Question

设函数，若在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）实数的取值范围为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设函数，若在点处的切线斜率为，用表示，与函数的切线有关，可考虑利用导数来解，对求导，利用，即可得出；（Ⅱ）若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围，即，这样转化为求的最大值，由于含有对数函数，可考虑利用导数来求的最大值，求导得，含有参数，需对参数进行分类讨论，分别求出最大值，验证是否符合题意，从而确定实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ），依题意有：； 

（Ⅱ）恒成立．

由恒成立，即．  

，

①当时，，，，单调递减，当，， 单调递增，则，不符题意；

②当时，，

（1）若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，不符题意；

（2）若，若，，，，单调递减，

这时，不符题意；

若，，，，单调递减，这时，不符题意；

若，，，，单调递增；当，， 单调递减，则，符合题意；

综上，得恒成立，实数的取值范围为．

考点：导数的几何意义，导数与单调性，导数与最值，分类讨论．