Question

如图，在直三棱柱中，,点分别为和的中点.

（1）证明：平面；

（2）平面MNC与平面MAC夹角的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以直三棱柱为几何背景，考查空间两条直线的位置关系、二面角、直线与平面的位置关系等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，根据线面平行的判定定理，先在面内找到线，从而证明平面；第二问，建立空间直角坐标系,写出所有点坐标,先找到平面和平面的法向量,利用线面垂直的判定可以确定是平面的法向量，而平面的法向量需要计算求出来，最后利用夹角公式求夹角余弦，注意判断夹角是锐角还是钝角，来判断余弦值的正负.

试题解析：（1）连接

由题意知，点分别为和的中点，∴，

又平面，平面，

∴平面.

（2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

于是，

∵平面，∴，∵为正方形，∴平面，

∴是平面的一个法向量，，设平面的法向量为，，，

，，令，

∴，

设向量和向量的夹角为，则

，

∴平面与平面的夹角的余弦值是.

考点：1.线面垂直的判定定理；2.线面平行的判定定理；3.空间向量法；4.夹角公式.