Question

已知数列为等差数列，数列为等比数列，若，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）是否存在，使得，若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），；（2）不存在假设的.

【解析】

试题分析：本题考查等差数列与等比数列的概念、通项公式等基础知识，考查思维能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，用代替，得到新的表达式，2个表达式相减，得到，设的通项公式，代入中，得到表达式，又由于为等比数列，所以化简成关于的方程，这个方程恒成立，所以，由于，所以，所以可以得到的通项公式；第二问，用反证法，找到矛盾.

试题解析：（1）当时，

∴，相减得：

，

令

则，（常数），

即对任意恒成立，

故.又，∴，.

（2）假设存在满足条件，则，

由于等式左边为奇数，故右边也为奇数，∴，

即，但左边为偶数，右边为奇数，矛盾！

所以不存在假设的.

考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.反证法.