Question

已知.

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）若为常数，且，记，求的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题考查导数与函数及运用导数求单调区间、最值等数学知识，突出考查运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，是恒成立问题，先将恒成立问题转化为最值问题，求的最值是本问的关键，法一，利用基本不等式求最值，法二，利用导数求最值，无论用哪种方法都应注意函数的定义域；第二问，令，将进行转化，化简成的形式，利用二次函数的单调性求.

试题解析：（1）（解法一）

设，

∴，∴的最大值为.

（解法二）设，

，

∴，当时，，当时，，∴为极小值点，

∴，∴，∴的最大值为.

（2）设，则，则

令，则

即，

设，∵其对称轴，

在上单调递减，∴，

∴，.

考点：1.恒成立问题；2.基本不等式；3.利用导数求函数的单调区间和最值；4.二次函数的单调性和最值.