Question

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F,G,H分别为BP,BE,PC的中点。

（Ⅰ）求证：平面FGH⊥平面AEB；

（Ⅱ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM，PM=．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，注意到F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，只要CB⊥平面，则FH⊥平面，由已知EA⊥平面ABCD，则EA⊥CB，而四边形ABCD是正方形，CB⊥AB，从而可得CB⊥平面，即可证出平面平面；（Ⅱ）这是一个探索性命题，一边假设存在，作为条件，进行推理即可，有已知条件，先判断EF⊥PB（因为若EF不垂直PB，则点就不存在），若PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM，注意到三角形是一个直角三角形，这样△PFM∽△PCB，利用线段比例关系，可得PM=，从得结论．

试题解析：（Ⅰ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．

又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE． 3分

由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．  5分

而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE． 6分

（Ⅱ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE= ，

在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE= ，所以PE=BE．

又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．..8分

要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．    ..9分

因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，

所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC．

若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 ，      11分

由已知可求得PB=，PF=，PC=，所以PM=    ..12分

考点：面面垂直的判定，线面垂直的性质．