Question

已知函数f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）当a＞0时，讨论的单调性；

(Ⅲ）若对任意的a∈(2,3)，x­₁,x₂∈[1,3]，恒有成立，求实数m的取值范围。

Answer

（Ⅰ）的极大值为，无极小值；（Ⅱ）①当时，在和上是增函数，在上是减函数；②当时，在上是增函数；③当时，在和上是增函数，在上是减函数 ； (Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，求的极值，首先确定函数的定义域为，对函数求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的极值；（Ⅱ）当a＞0时，讨论的单调性，首先对函数求导函数，并分解得，再进行分类讨论，利用，确定函数单调减区间；，确定函数的单调增区间；（Ⅲ）若对任意的a∈(2, 3)，x­1, x2∈[1, 3]，恒有成立，只要求出的最大值即可，因此确定函数在上单调递减，可得的最大值与最小值，从而得，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数的取值范围

试题解析：（Ⅰ）当时，     2分

由,解得 ，可知在上是增函数，在上是减函数     4分

∴的极大值为，无极小值                    5分

（Ⅱ），

①当时，在和上是增函数，在上是减函数；   7分

②当时，在上是增函数；                       8分

③当时，在和上是增函数，在上是减函数  9分

(Ⅲ）当时，由（2）可知在上是增函数，

∴                10分

由对任意的a∈(2, 3)，x­1, x2∈[1, 3]恒成立，

∴                         11分

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，                          12分

由于当时，，∴             14分

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件