Question

已知函数f(x)＝2cos²x―sin(2x―).

（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时x的取值集合；

（Ⅱ）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)＝,b＋c＝2，求实数a的最小值。

Answer

（Ⅰ）所以函数的最大值为2，取最大值时的取值集合；（Ⅱ）实数的最小值为1．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合，首先将化为一个角的一个三角函数，因此利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数得，即可求得函数的最大值为2，从而可得取最大值时的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，故，可求得角的值为，在中，因为，可考虑利用余弦定理来解，由余弦定理得，，即可求得实数的最小值．

试题解析：（Ⅰ）f(x)=2cos2x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)

=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1                      (3分)

所以函数的最大值为2.                                 (4分)

此时sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(kz)   解得x=kπ+(kz)

故x的取值集合为{x| x=kπ+，kz}                       (6分)

（Ⅱ）由题意f(A)=sin(2A+)+1=,化简得sin(2A+)=，

∵A（0，π）,  2A+(,).  A=             (8分)

在三角形ＡＢＣ中，根据余弦定理，

得a2＝b2＋c2－2bc·cos=（b+c)2-3bc                       (10分)

由b+c=2 知bc()2=1, 即a21 

当b=c=1时,实数a的最小值为1.                           (12分)

考点：余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．