Question

已知函数(为常数，且)，且数列是首项为4，公差为2的等差数列。

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若，当时，求数列的前n项和。

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）数列是等比数列，只需证明等于一个与无关的常数即可，由已知数列是首项为4，公差为2的等差数列，故，即，可求得，代入即可数列是等比数列；（Ⅱ）若，当时，求数列的前项和，首先求出数列的通项公式，由（Ⅰ）可知，故，这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列，可利用错位相减法来求和，可求得．

试题解析：（Ⅰ）由题意知f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，            (2分)

即logkan＝2n＋2，∴an＝k2n＋2，                          (3分)

∴.                               (5分)

∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，

∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列。          (6分)

（Ⅱ）由（1）知，bn＝anf(an)＝k2n＋2·(2n＋2)，

当k＝时，bn＝(2n＋2)·2n＋1＝(n＋1)·2n＋2.            (8分)

∴Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋＋(n＋1)·2n＋2，  ①

2Sn＝2·24＋3·25＋＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3， ②          (10分)

②－①，得Sn＝―2·23―24―25――2n＋2＋(n＋1)·2n＋3   

＝―23―(23＋24＋25＋＋2n＋2)＋(n＋1)·2n＋3,

∴Sn＝―23―＋(n＋1)·2n＋3＝n·2n＋3.        (12分)

考点：等差数列与等比数列的综合，数列求和．