Question

如图，设F(－c,0)是椭圆的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。

①证明：∠AFM＝∠BFN；

②求△ABF面积的最大值。

Answer

（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）①详见解析；②．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆的标准方程，只需利用待定系数法来求，由，知，由，得，将代入，可求出的值，从而得的值，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）①证明：，只需证明即可，这是直线与二次曲线位置关系问题，可采用设而不求的方法，因此当的斜率为0时，，满足题意．当的斜率不为０时，可设直线的方程为，代入椭圆方程得，设出，有根与系数关系，及斜率公式可得，从而得到．故恒有；②求△ABF面积的最大值，由图可知，由基本不等式，能求出三角形ABF面积的最大值．

试题解析：（Ⅰ）∵|MN|＝8, ∴a＝4，                                  (1分)

又∵|PM|＝2|MF|，∴e＝，                      (2分)

∴c＝2,b2＝a2－c2＝12，

∴椭圆的标准方程为                    (3分)

（Ⅱ）①证明：

当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0，满足题意；    (4分)

当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x＝my－8，

代入椭圆方程整理得(3m2＋4)y2－48my＋144＝0.               (5分)

△＝576(m2－4),   yA＋yB＝,    yAyB＝.

则

,

而2myAyB－6(yA＋yB)＝2m·－6·＝0，        (7分)

∴kAF＋kBF＝0，从而∠AFM＝∠BFN.

综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM＝∠BFN.         (8分)

②方法一：

S△ABF＝S△PBF－S△PAF          (10分)

即S△ABF＝，    (12分)

当且仅当，即m＝±时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。

∴△ABF面积的最大值是3.                              (13分)

方法二：

点F到直线AB的距离                  (10分)

，                     (12分)

当且仅当，即m＝±时取等号。        (13分)

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．