Question

已知函数f(x)＝在x＝0，x＝处存在极值。

（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）函数y＝f(x)的图象上存在两点A,B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；

(Ⅲ）当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数。

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）实数c的取值范围是(0,＋∞) ；(Ⅲ）当k＞或k＜0时，方程f(x)＝kx有一个实根；当k＝或k＝0时，方程f(x)＝kx有两个实根；当0＜k＜时，方程f(x)＝kx有三个实根。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于两个极值点都小于零，故对在求导，，即当时，，依题意，由可求实数的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，依题意A，B的横坐标互为相反数，不妨设，分与讨论，利用是直角，，即可求得实数的取值范围；(Ⅲ）由方程，知，可知一定是方程的根，，方程等价于，构造函数，分且与两类讨论，即可确定的实根的个数．

试题解析：（Ⅰ）当x＜1时，.

因为函数f(x)在x＝0,x＝处存在极值，所以

解得a＝1,b＝0.                                               (3分)

（Ⅱ）由（1）得

根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设A(－t,t3＋t2), B(t,f(t)(t＞0).   (4分)

若t＜1，则f(t)＝－t3＋t2,

由∠AOB是直角得·＝0，即－t2＋(t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，

即t4－t2＋1＝0.此时无解；                                     (5分)

若t≥1，则f(t)＝c(et―1―1).由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，

所以B点不可能在x轴上，即t≠1.

同理·＝0，  即－t2＋( t3＋t2)·c(et―1―1)＝0，

整理后得  .                                 (7分)

因为函数y＝(t＋1)(et-1―1)在t＞1上的值域是(0, ＋∞),

所以实数c的取值范围是(0, ＋∞).                          (8分)

（3）由方程f(x)＝kx,

知

因为0一定是方程的根，                                  (9分)

所以仅就x≠0时进行研究：

方程等价于

构造函数                        (10分)

对于x＜1且x≠0部分，函数g(x)＝－x2＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝时取得最大值，其值域是(－∞, 0)∪(0, ]；         (11分)

对于x≥1部分，函数，由，

知函数g(x)在(1, ＋∞)上单调递增,则g(x)［0，+)          (13分)

所以, ①当k＞或k＜0时，方程f(x)＝kx有一个实根；

②当k＝或k＝0时，方程f(x)＝kx有两个实根；

③当0＜k＜时，方程f(x)＝kx有三个实根。             (14分)

考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．