Question

已知函数.

（1）证明：；

（2）当时，，求的取值范围.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，因为，所求证，所以只需分母即可，设函数，对求导，判断函数的单调性，求出最小值，证明最小值大于0即可，所求证的不等式的右边，需证明函数的最大值为1即可，对求导，判断单调性求最大值；第二问，结合第一问的结论，讨论的正负，当时，，而与矛盾，当时，当时，与矛盾，当时，分母去分母，等价于，设出新函数，需要讨论的情况，判断在每种情况下，是否大于0，综合上述所有情况，写出符合题意的的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）设，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以．

又，故．            2分

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以．

综上，有．            5分

（Ⅱ）（1）若，则时，，不等式不成立．   6分

（2）若，则当时，，不等式不成立．   7分

（3）若，则等价于．   ①

设，则．

若，则当，，单调递增，． 9分

若，则当，，单调递减，．

于是，若，不等式①成立当且仅当．       11分

综上，的取值范围是．

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数研究函数的最值；3.恒成立问题.