Question

如图，在三棱锥中，，，D为AC的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据已知条件，取中点，连结，得出，再利用，根据线面垂直的判定证出平面，从而得到垂直平面内的线，再利用为中位线，得出平面，最后利用面面垂直的判定证明平面垂直平面；第二问，由第一问知两两互相垂直，所以建立空间直角坐标系，得出点，以及坐标，利用已知先求出平面与平面的法向量，再利用夹角公式求出夹角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）取中点为，连结，．

因为，所以．

又，，所以平面，

因为平面，所以．         3分

由已知，，又，所以，

因为，所以平面．

又平面，所以平面⊥平面．       5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，两两互相垂直．

以为坐标原点，的方向为轴的方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题设知，，，．

则，，．

设是平面的法向量，则

即，可取．      9分

同理可取平面的法向量．

故．          11分

所以二面角的余弦值为．         12分

考点：1.线面垂直的判定和性质；2.面面垂直的判定；3.空间向量法；4.夹角公式.