Question

据民生所望，相关部门对所属单位进行整治性核查，标准如下表：

规定初查累计权重分数为10分或9分的不需要复查并给予奖励，10分的奖励18万元；9分的奖励8万元；初查累计权重分数为7分及其以下的停下运营并罚款1万元；初查累计权重分数为8分的要对不合格指标进行复查，最终累计权重得分等于初查合格部分与复查部分得分的和，最终累计权重分数为10分方可继续运营，否则停业运营并罚款1万元.

（1）求一家单位既没获奖励又没被罚款的概率；

（2）求一家单位在这次整治性核查中所获金额X（万元）的分布列和数学期望（奖励为正数，罚款为负数）.

Answer

（1）；（2）分布列详见解析，.

【解析】

试题分析：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查计算能力.第一问，分析题意：只有得8分的情况既没有奖励又没有罚款，但是得8分时需要复查不合格指标项，所以符合题意的情况有：①甲的4个指标项合格，乙的2个指标项不合格，并对乙的2个指标项进行复查，②甲的4个指标项有3个合格，1个不合格，乙的2个指标项合格并对甲中不合格的1个指标项进行复查；第二问，通过已知条件得出，有4种情况：当时，表示既没有奖励又没有罚款的情况，也就是第一问的情况；当时，表示累计权重分数为9分，也就是甲的4个指标项都合格，而乙中的2个指标项只有1个合格；当时，表示累计权重分数为10分，也就是说甲乙中的所以指标项都合格的情况；当时，表示累计权重分数为7分，也就是甲中的4个指标项有3个合格1个不合格，乙中的2个指标项1个合格1个不合格，利用分析的情况列出概率表达式，列出分布列，利用期望的计算公式求数学期望.

试题解析：记“初查阶段甲类的一个指标项合格”为事件，“初查阶段乙类的一个指标项合格”为事件，“复查阶段一个指标项合格”为事件，则

，．

（Ⅰ）记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件，则

．  4分

（Ⅱ）的可能取值为－1，0，8，18．

，

，

，

．

的分布列为

X

－1

0

8

18

P

 10分

的数学期望（万元）．  12分

考点：离散型随机变量的分布列和数学期望.