Question

已知抛物线，直线与E交于A、B两点，且，其中O为原点.

（1）求抛物线E的方程；

（2）点C坐标为，记直线CA、CB的斜率分别为，证明：为定值.

Answer

（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，将直线与抛物线方程联立，消去参数，得到关于的方程，得到两根之和两根之积，设出点的坐标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得出的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先利用点的坐标得出直线的斜率，再根据抛物线方程转化参数，得到和的关系式，代入到所求证的式子中，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得出常数即可.

试题解析：（Ⅰ）将代入，得．     2分

其中

设，，则

，．           4分

．

由已知，，．

所以抛物线的方程．           6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

，同理，     10分

所以．     12分

考点：1.抛物线的标准方程；2.韦达定理；3.向量的数量积；4.直线的斜率公式.