Question

如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.

(1)求证:AC⊥SD;

(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;

(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.

Answer

（1）证明详见解析；（2）30°；（3）存在  SE∶EC=2∶1

【解析】

试题分析：（1）设AC交BD于O,以 、、分别为S,D,C,

x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，则S,D,C,

求出，的坐标，并计算得到·=0，从而AC⊥SD.（2）为平面PAC的一个法向量，

为平面DAC的一个法向量，向量与的夹角等于二面角PACD的平面角，根据向量的夹角公式计算出与的夹角即可.（3）假设存在一点E使BE∥平面PAC，设=t(0≤t≤1),则=+=+t,因为·=0，可建立关于t的等式，解之即可.

试题解析：(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,

由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,、、分别为

x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

设底面边长为a,，则高SO=a.于是S,D,C,

=,=,·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD.  4分

(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为=,

平面DAC的一个法向量为=,则cos<,>==,

故所求二面角的大小为30°. 8分

(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.，由(2)知是平面PAC的一个法向量,

且=,=,         设=t(0≤t≤1),

=+=+t=,而·=0t=,

即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC.           12分

考点：1.空间两向量垂直的充要条件；2.二面角；3.直线与平面平行判定.