Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.

(1)求a的值；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx²成立，求实数k的最小值；

Answer

（1）a=1 （2）

【解析】

试题分析：（1）首先确定函数的定义域，然后求导，利用导数，确定函数的单调区间和极小值，此处，极小值就是最小值，由于最小值为0，可建立关于a的方程，解之即可.（2）通过x=1验证k≤0不满足条件，所以k>0，构造函数g(x)＝f(x)－kx2，则g′(x)＝－2kx＝.分类讨论：k≥时，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合题意; 0＜k＜时，g(x)在内单调递增，x0∈时，g(x0)＞g(0)＝0，故0＜k＜不合题意．所以k的最小值为.

试题解析：.【解析】
(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．

f′(x)＝1－＝.2分

由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－a,1－a)

1－a

(1－a，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

f(x)



极小值



因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，

故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.  5分

(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，

故k≤0不合题意．                    6分

当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx2，

即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.

g′(x)＝－2kx＝.

令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1.  8分

①当k≥时，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立，故k≥符合题意． 10分

②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，故g(x)在内单调递增，因此当取x0∈时，g(x0)＞g(0)＝0，即f(x0)≤kx02不成立，故0＜k＜不合题意．

综上，k的最小值为.    12分

考点：1.函数的导数；2.导数的性质；3.不等式恒成立问题.