Question

右图为一组合体，其底面为正方形，平面，，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）2；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、平行的判定、线面垂直的判定、几何体的体积和表面积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.第一问，利用线面平行的判定得出平面，平面，所以可得到平面平面，所以利用面面平行的性质得证结论；第二问，利用线面垂直得到线线垂直，又因为，所以得到线面垂直，所以是所求锥体的高，利用梯形面积公式求底面的面积，再利用体积公式求体积；第三问，利用已知的边的关系和长度，可以求出组合体中每一条边的长度，从而求出每一个面的面积，最后求和加在一起即可.

试题解析：（Ⅰ）∵，平面，平面，

∴平面，

同理可证：平面，

∵平面，平面，且，

∴平面平面，

又∵平面，∴平面，

（Ⅱ）∵平面，平面，

∴，

∵，

∴平面，

∵，

∴四棱锥的体积，

（Ⅲ）∵，，

∴，

又∵，，，，，

∴组合体的表面积为.

考点：1.线面平行的判定；2.面面平行的判定；3.梯形面积公式；4.锥体体积公式.