Question

在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°.

（1）求证：BD⊥PC；

（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；

（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直的判定和线面平行垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，先利用正三角形的性质得出与垂直，再利用线面垂直的性质得出与垂直，利用线面垂直的判定得垂直平面，从而得证；第二问，先利用中位线证出，再根据线面平行的判定定理证明平面，再根据已知条件得面面平行，所以得到，再转化边和角的值求出；第三问，先根据题意，建立空间直角坐标系，得出各个点坐标，计算出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求出余弦值.

试题解析：（1）∵是正三角形，是中点，

∴，即.

又∵平面，∴.

又，∴平面.

∴.

（2）取中点连接则平面.

又直线平面，

所以平面平面，

∴，

∵为中点，，

∴，

∵，，

∴，，

∵，，得.

（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

∴，，，．

为平面的法向量．

，．

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得，，则平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，则．

所以二面角余弦值为．

考点：1.线面垂直的判定和性质；2.正三角形的性质；3.线面平行的判定；4.面面平行的判定；5.空间向量法；6.夹角公式.