Question

已知．

（1）曲线y=f（x）在x=0处的切线恰与直线垂直，求的值；

（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；

（3）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求证：．

Answer

（1）；（2）当，即时，，当，即时，，当，即时，；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对求导，将代入得到切线的斜率，由已知切线与直线垂直得出方程，解出的值；第二问，先对求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出，因为，所以数形结合，得，解得，数形结合得出两组点的横坐标的关系，又利用，得出，，进行转换得到所求证的不等式.

试题解析：（1）由，

得：，则，

所以，得.

（2）令，得，即.

由，得，由，得，

∴在上为增函数，在为减函数.

∴当，即时，.

当，即时，.

当，即时，.

（3）由（2）知，，

∵，∴，

∴，得，∴，且.

得，又，，

∴.

考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.