Question

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，，分别为的中点，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线线平行、面面垂直、线面垂直和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以运用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.方法一：第一问，由于四边形为正方形，所以是中点，在中，利用中位线得，利用面面垂直的判定得平面平面，在中，由已知得为等腰三角形，而是的中点，所以得，所以得平面，而，所以平面，所以垂直面内的线，在中，利用勾股定理得，，所以利用线面垂直的判定得平面，所以垂直面内的线；第二问，由线面垂直平面，得面面垂直平面平面，由垂直两个面的交线，所以平面，所以垂直面内的线，在等腰三角形中，是中点，所以，从而得平面，所以垂直面内的线，从而得是二面角的平面角，由已知中的边的关系得出、的长度，从而得出的值，再利用平方关系得出角的余弦值；方法二：第一问，利用向量法，先建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标及向量的坐标，要证明，只需证明即可；第二问，利用向量法求出面的法向量，面的法向量，再利用夹角公式求余弦值.

试题解析：解法一：（Ⅰ）设，连接,

分别是、的中点，则，     1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面，所以平面，

所以平面，

又平面，所以；      3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.            6分

（Ⅱ）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面,所以平面平面，

平面平面,所以平面，

平面，所以;

在中，，是中点，故;

所以平面，则.

所以是二面角的平面角     10分

设，

而， ，则，

所以二面角的余弦值为.     12分

解法二：

因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面，

所以平面     2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

     4分

，，所以     6分

（Ⅱ），，

设平面的法向量为，

则令，得.     8分

又，，

所以平面的法向量，     10分

，

所以二面角的余弦值为.     12分

考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的判定；3.二面角的求法；4.向量法.