Question

已知、为椭圆的左、右焦点，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？

若存在其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）当不存在时圆面积最大， ，此时直线方程为.

【解析】

试题分析：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义列出，解出和的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，假设直线的斜率存在，设出直线方程与椭圆方程联立，消参得出关于的方程，得到两根之和、两根之积，求出的面积，面积之和内切圆的半径有关，所以当的面积最大时，内切圆面积最大，换一种形式求的面积，利用换元法和配方法求出面积的最大值，而直线的斜率不存在时，易求出和圆面积，经过比较，当不存在时圆面积最大.

试题解析：（Ⅰ）由已知，可设椭圆的方程为，

因为，所以，，

所以，椭圆的方程为       4分

（也可用待定系数法，或用）

（2）当直线斜率存在时，设直线：，由得，

设，，     6分

所以，

设内切圆半径为，因为的周长为（定值），，

所以当的面积最大时，内切圆面积最大，又，     8分

令，则，所以     10分

又当不存在时，，此时， 

故当不存在时圆面积最大， ，此时直线方程为.        12分

（也可以设直线，避免对的讨论，参照以上解法，按相应步骤给分）

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线的方程；3.韦达定理；4.三角形面积公式；5.配方法求函数的最值.