Question

已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：且.（注：为自然对数的底数）

Answer

（1）详见解析；（2），证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先对函数求导，由于函数有定义域，所以恒大于0，所以对进行讨论，当时，导数恒正，所以函数在上是增函数，当时，的根为，所以将定义域从断开，变成2部分，分别判断函数的单调性；第二问，（1）通过第一问的分析，只有当时，才有可能有2个零点，需要讨论函数图像的最大值的正负，当最大值小于等于0时，最多有一个零点，当最大值大于0时，还需要判断在最大值点两侧是否有纵坐标小于0的点，如果有就符合题意，（2）由（1）可知函数的单调性，只需判断出和的正负即可，经过分析，因为,所以.只要证明:就可以得出结论，所以下面经过构造函数证明，只需求出函数的最值即可.

试题解析：（I）的定义域为．其导数．   1分

①当时，，函数在上是增函数；    2分

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.     4分

（II）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，

当时，最多有一个零点，所以，解得， 6分

此时，，且，

令，则，所以在上单调递增，

所以，即

所以的取值范围是       8分

②证法一：

.设 . .

当 时， ；当 时， ；

所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .

由于 ，且 ，所以 ，所以.

下面证明：当时， .设 ，

则 .在 上是增函数，所以当时，

 .即当时，..

由得 .所以.

所以 ，即，，.

又 ，所以，.

所以 .

即.

由，得.所以， .        12分

②证法二：

由（II）①可知函数在是增函数，在是减函数.

所以.故 

第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论

下面给出证明：构造函数：

则：

所以函数在区间上为减函数.,则,又

于是. 又由(1)可知

 .即        12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用函数求函数最值；3.构造函数法；4.放缩法.