Question

已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴．

（1）求的值；

（2）求函数的极小值；

（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，（）,证明：．

Answer

(1) ；（2）；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求切线方程、单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，对求导，将代入得到切线的斜率，由已知得，即，所以；第二问，利用第一问的结论得到的解析式，对求导，判断函数的单调性和极值；第三问，先用分析法得出与结论等价的式子，即，先证不等式的右边，构造函数，通过求导数判断函数的单调性，求出最大值，所以，即，再证不等式的左边，同样构造函数，通过求导，求出最小值，即，即，综合上述两部分的证明可得.

试题解析：（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴ .

（2）由（1）得 

∵函数的定义域为，令得或

函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为

（3）证法一：依题意得，

要证，即证

因，即证 

令（），即证（）

令（）则

∴在（1，+）上单调递减，

∴  即，                  ①

令（）则

∴在（1，+）上单调递增，

∴=0，即（）                  ②

综①②得（），即．

【证法二：依题意得，

令则

由得，当时，，当时，，

在单调递增，在单调递减，又

即

考点：1.利用导数求切线的方程；2.利用导数求函数的极值和最值；3.分析法证明不等式.