Question

如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题考查抛物线、圆的标准方程以及直线与抛物线、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.第一问，据点到准线的距离为，直接列式求得，得到抛物线的标准方程；第二问，据条件的角平分线为，即轴，得，而，关于对称，所以，利用两点斜率公式代入得，所以求得；第三问，先求直线的方程，再求的方程，令，可得到，利用函数的单调性求函数的最值.

试题解析：(1)∵点到抛物线的距离为，

∴，即抛物线的方程为.         2分

（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，

设，

∴，  ∴，

∴，∴.            6分

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，

联立方程组，得，

∵   ∴，．

同理可得，，∴．              6分

（3）法一：设，∵，∴，

可得，直线的方程为，

同理，直线的方程为，

∴，，

∴直线的方程为，

令，可得，

∵关于的函数在单调递增，   ∴．               12分

法二：设点，，．

以为圆心，为半径的圆方程为，      ①

⊙方程：． ②

① ②得：

直线的方程为．

当时，直线在轴上的截距，

∵关于的函数在单调递增，   ∴．             12分

考点：1.点线距离；2.圆外一点引两条切线的性质.