Question

的外接圆半径，角的对边分别是，且 .

（1）求角和边长；

（2）求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状.

Answer

（1），；（2）的最大值，此时，此时三角形是等边三角形.

【解析】

试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及基本不等式的运用和求三角形面积的最值.第一问，先利用余弦定理将角化成边，去分母化简，得，再利用余弦定理求，在中，，所以，再利用正弦定理求边；第二问，先通过余弦定理，再结合基本不等式求出的最大值，得到面积的最大值，注意等号成立的条件，通过这个条件得出，所以判断三角形形状为等边三角形.

试题解析：（1）由,得：，

即，所以，            4分

又，所以，又，所以        6分

（2）由，，

得（当且仅当时取等号）     8分

所以，（当且仅当时取等号）

              10分

此时

综上，的最大值，取得最大值时，此时三角形是等边三角形.    12分

考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.均值定理；4.三角形面积公式.