Question

如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；

（2）设,求面积的最大值及此时的值.

Answer

（1）；（2）时，取得最大值为.

【解析】

试题分析：本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力.第一问，在中，，，由余弦定理求边长；第二问，在中，利用正弦定理，得到，，三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值.

试题解析：（1）在中，，，由，

得，解得.

（2）∵，∴，

在中，由正弦定理得，即，

∴，又，.

记的面积为，则

∴时，取得最大值为.

考点：1.余弦定理；2.正弦定理；3.二倍角公式；4.降幂公式；5.两角和与差的正弦公式.