Question

数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：.

Answer

（1），；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力.第一问，先利用是和的等差中项，得到，由求，注意的情况，不要漏掉，会得到为等比数列，利用等比数列的通项公式，求和公式直接写出和，再利用已知求出，写出等差数列的通项公式；第二问，先化简表达式，利用裂项相消法求和求，利用放缩法比较与的大小，作差法判断数列的单调性，因为数列为递增数列，所以最小值为，即，所以.

试题解析：（1）∵是和的等差中项，∴

当时，，∴

当时，，

∴ ，即                         3分

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴，                             5分

设的公差为，，，∴

∴                            6分

（2）                      7分

∴       9分

∵,∴                    10分

∴数列是一个递增数列      ∴.

综上所述，           12分

考点：1.等差中项；2.由求；3.等比、等差数列的通项公式与求和公式；4.裂项相消法求和.