Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

（1）求证：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

（3）求点B到平面MAC的距离．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）.

【解析】

试题分析：本题考查空间两条直线的位置关系、二面角、点到平面的距离等基础知识，考查运用传统几何法，也可以运用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据线面平行的判定定理得到平面，所以垂直于面内的任意线；第二问，法一：先找出二面角的平面角，取的中点，因为，所以，由三垂线定理得，所以得到二面角的平面角为，由已知得，在中用余弦定理求，在、、、中求边长，最后在中即是二面角的余弦值.法二：用向量法，建立空间直角坐标系，设出点坐标，因为直线与直线所成的角为，利用夹角公式，先得到点坐标，再求出平面的法向量，所以求与的夹角的余弦，并判断夹角为锐角，所以余弦值为正值；第三问，先找线段的中点到平面的距离，利用线面垂直的判定定理，得到即是，用等面积法求，所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍.

试题解析：方法1：（1）证明：∵，，∴平面，∴．（2分）

（2）取的中点，连．∵，∴，∴平面．

作，交的延长线于，连接．

由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．

∵直线与直线所成的角为，

∴在中，．

在中，．

在中，．

在中，．

在中，∵，∴．

故二面角的余弦值为．（8分）

（3）作于．∵平面，∴，∴平面，

∴点到平面的距离为．

∵点是线段的中点，

∴点到平面的距离是点到平面的距离的两倍为．（12分）

方法2：（1）证明：∵，，∴平面，∴．（2分）

（2）在平面内，过作的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设，则．．

∵，

且，∴，得，∴．

设平面的一个法向量为，则由

得得∴．

平面的一个法向量为．．

显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．（8分）

（3）点到平面的距离．（12分）

考点：1.线面垂直的判定定理；2.三垂线定理；3.余弦定理；4.向量法；5.夹角公式；6.等面积法.