Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先利用离心率列出表达式找到与的关系，又因为椭圆上的点到点的距离最大值为4，利用两点间距离公式列出表达式，因为在椭圆上，所以，代入表达式，利用配方 法求最大值，从而求出，所以，所以得到椭圆的标准方程；第二问，先设点坐标，由题意设出直线方程，因为直线与椭圆相交，列出方程组，消参韦达定理得到两根之和、两根之积，用坐标表示得出，由于点在椭圆上，得到一个表达式，再由，得到一个表达式，2个表达式联立，得到的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）∵ ∴          （1分）

则椭圆方程为即

设则

当时，有最大值为

解得∴，椭圆方程是        （4分）

（Ⅱ）设方程为

由    整理得.

由，得.

               （6分）

∴   则,

由点P在椭圆上，得化简得①  （8分）

又由即将，代入得

      化简，得

则,    ∴②      （10分）

由①，得

联立②，解得∴或      （12分）

考点：1.椭圆的标准方程；2.两点间的距离公式；3.配方法求函数最值；4.韦达定理.