Question

已知函数．

（1）当时，函数的图像在点处的切线方程；

（2）当时，解不等式；

（3）当时,对,直线的图像下方.求整数的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及切线方程问题，考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力，考查计算能力.第一问，要求切线方程需要求出切线的斜率和切点的纵坐标，利用点斜式直接写出切线方程；第二问，数形结合解对数不等式；第三问，因为当时,对,直线的图像下方，所以问题等价于对任意恒成立，下面只需求出，通过对函数的二次求导，判断函数的单调性和最值.

试题解析：（1），当时．切线，  2分

（2）     4分

（3）当时,直线恒在函数的图像下方，得

问题等价于对任意恒成立.         5分

当时，令，

令，，

故在上是增函数

由于

所以存在，使得．

则；，

即；

知在递减，递增

∴      10分

∴又 ，，所以=3．            12分

考点：1.利用导数求切线方程；2.利用导数判断函数的单调性；3.利用导数求函数的最值；4.对数不等式的解法.