Question

直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面.设.

(Ⅰ)求二面角的大小；

(Ⅱ)在上是否存在一点，使面?若存在，求的值;不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在点使面此时

【解析】

试题分析：本题主要以直三棱柱为几何背景考查线线垂直、线面垂直、线面平行和二面角的求法，可以运用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，第一问，通过对题目的分析建立空间直角坐标系，得到点和向量的坐标，先由线面垂直得出平面的法向量为，再利用，，求出平面的法向量，最后利用夹角公式求出夹角余弦值，通过观察判断确定二面角为锐角；第二问，先假设存在，利用共线向量，得到与的关系，从而得到的坐标，下面求的坐标，利用第一问中的和的坐标计算的坐标，如果平面，则与平面的法向量垂直，所以，利用这个方程解题，如果有解，则存点，若无解，则不存在点.

试题解析：(Ⅰ)设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，

则设

则

平面

即           2分

设平面的法向量为 

则由 得   令

平面的一个法向量为

又平面的法向量为

∴二面角大小为           6分

(Ⅱ)设得

   10分

面

存在点使面此时         12分

考点：1.空间向量法；2.线面垂直；3.夹角公式；4.向量垂直的充要条件.