Question

已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.

Answer

（1）；（2），.

【解析】

试题分析：本题主要考查直线、椭圆的标准方程及其性质，考查思维能力，运算能力.第一问，利用离心率和椭圆过定点求椭圆的标准方程；第二问，分两种情况：当直线与轴垂直时，比较直观，可求得，而当直线不与轴垂直时，设出直线的方程，让它与椭圆联立，消去参数，得到两根之和、两根之积，代入到中，通过配方法求面积的最大值，利用内切圆半径列出的面积，解出的范围，得到，此时直线与轴垂直，所以.

试题解析：（1），又

     4分

（2）显然直线不与轴重合

当直线与轴垂直时，||=3，，；      5分

当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，

整理，得

                     7分

令

所以

由上，得

所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3         10分

设内切圆半径，则

即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大

所以，            12分

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线的标准方程；3.韦达定理；4.三角形面积公式；5.配方法求最值.