Question

已知函数(其中).

(Ⅰ)若为的极值点,求的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式；

(Ⅲ)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，因为为的极值点，所以是的根，所以对求导，解方程求出的值，最后检验一次是不是的极值点；第二问，先将不等式进行恒等变形，变成，转化为不等式组，而对于来说，式子比较复杂，不可以直接解不等式，那就构造新函数，通过二次求导，判断函数的单调性，通过函数图像，数形结合解不等式；第三问，因为在上单调递增，所以在上恒成立，对求导，由于中含参数，所以对进行讨论，求出的增区间，利用与增区间之间的子集关系，求参数的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)因为

     2分

因为为的极值点,所以由,解得     3分

检验,当时,,当时,,当时,.

所以为的极值点,故.     4分

(Ⅱ) 当时,不等式,

整理得,即或 6分

令,,,

当时,；当时,,

所以在单调递减,在单调递增,所以,即,

所以在上单调递增,而；

故；,

所以原不等式的解集为；     8分

(Ⅲ) 当时, 

因为,所以,所以在上是增函数.

当时,, 时,是增函数,.

①若,则,由得；

②若,则,由得.

③若,,不合题意,舍去.

综上可得,实数的取值范围是    12分](亦可用参变分离求解).

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的极值、最值；3.恒成立问题.