Question

设函数f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e为自然对数的底数）

（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；

（2）是否存在一次函数h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由：

3）数列{}中，a₁＝1，＝g（）（n≥2），求证：＜＜＜1且＜．

Answer

（1）最小值0；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用导数求解即可；（2）假设存在，，，然后利用导数求出最小值判断即可；（3）先证递减且由（2）知时，又在上递增，所以当时，总有，即也成立，然后利用数学归纳法证明.

试题解析：（1）

易知时，时

所以在上递减，而在上递增                   2分

故时，取最小值0                          3分

（2）由（1）可知，

所以若存在一次函数使得

且总成立，则，即；

所以可设，代入得恒成立，

所以，所以，，

此时设，则，

易知在上递减，在上递增，

所以，即对一切恒成立；

综上，存在一次函数符合题目要求                          6分

（3）先证递减且

由（2）知时，又在上递增，所以当时，

总有，即也成立

下面用数学归纳法证明

（1）时，因为，所以成立；

（2）假设时，结论成立，即

由于时，，又在上递增，

则，即也成立

由（1）（2）知，恒成立；而时

所以递减

综上所述                          9分

所以

                          12分

考点：利用导数求函数最值、数学归纳法证明不等式、函数构造、利用导数研究函数单调性.