Question

如图，在三棱柱 中， ．

（1）求证： ；

（2）若 ，在棱上确定一点P，  使二面角的平面角的余弦值为．

Answer

（1）详见解析; （2）P为棱的中点.

【解析】

试题分析：（1）要证，可转化为去证明垂直于含有的平面，再由题中所给线面垂直，结合面面垂直的判定定理，可以判断得出，最后结合面面垂直的性质定理，由题中所给线线垂直，可以得到，进而不难证得;（2）由题意可知点处可以构造出三条线两两垂直，故可选择以点为坐标原点建立空间直角坐标系，这样图中的坐标，由点在线段上，可转化为从而用一个变量表示出点的坐标，求出这两个平面的法向量，运用向量数量积公式可计算出这两个法向量的夹角的余弦值，并由此而求出的值，从而确定出点的位置．

试题解析：（1）在三棱柱中，因为，平面，所以平面平面，                  （2分）

因为平面平面，，所以平面，所以.  （4分）

（2）设平面的一个法向量为，因为，，

即所以

令得，                     （10分）

而平面的一个法向量是，

则，解得，即P为棱的中点.  （12分）

考点：1.线线，线面和面面垂直;2.二面角的处理落实