Question

已知函数的最大值为0，其中。

（1）求的值；

（2）若对任意，有成立，求实数的最大值；

（3）证明：

Answer

（1） ;（2）;（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据函数的特征可对函数求导，由导数等于零，可求出函数的零点，利用导数与函数单调性的关系：导数大于零，函数在对应区间上单调增，导数小于零，函数在对应区间上单调减，就可用表示出函数的最大值进而求出;（2）先定性分析的范围，发现当时，易得，即可得出矛盾，进而只有小于零，对函数求导后得出导数为零的，再根据与零的大小关系，可发现要以为界进行讨论，又由结合函数的单调性不难得出只有时不等式 恒成立; （3）当时，不等式显然成立; 当时，首先结合（1）中所求函数得出求和的表达式，这样与所要证不等式较近了，再结合（2）中所证不等式，取的最大值，即，两式相结合，最后用放缩法可证得所要证明不等式．

试题解析：（1） 定义域为

,由=0，得 .        1分

当变化时，，变化情况如下

(-a,1-a)

1-a

(1-a,+∞)

+

0

-

增

极大值

减

因此，在 处取得最大值，故 ,所以 .       3分

（2）当时，取有，故不合题意;当时，令，令，得，①时，中恒成立，因此在单调递增，从而对任意的，总有，即在恒成立．故符合题意; ②当时，对于，故在内单调递减，因此取，即不成立，故不合题意，综上，的最大值为.

（3）当 时，不等式左边右边，不等式成立.

当时，

   10分

在（2）中取

∴

 =

   .

综上，           12分

考点：1.导数在函数中的运用;2.数列求和;3.不等式的证明