Question

（本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点，与交于点，侧面.

（1）证明：；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和线面垂直的判定以及三棱锥的体积的求法，突出考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及计算能力.第一问，由于侧面为矩形，所以在直角三角形和直角三角形中可求出和的正切值相等，从而判断2个角相等，通过转化角得到， 又由于线面垂直，可得，所以可证， 从而得证；第二问，利用第一问的结论，知，利用平行平面，将三棱锥进行转换，转换出底和高都比较明显的，利用三棱锥的体积公式进行计算.

试题解析：(1)证明：由题意且,

,所以,       3分

又侧面，,

又与交于点，所以,

又因为,所以.         6分

（2）因为且平面

.      12分

考点：1.直角三角形中正切的计算；2.线面垂直的判定和性质；3.三棱锥的体积公式.