Question

（本小题满分12分）已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若恒成立，求实数的值.

Answer

（1）函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值；（2）.

【解析】

试题分析：本题综合考察函数与导数及运用导数求单调区间、极值、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.第一问，将代入，先得到的表达式，注意到定义域中，对求导，根据，判断出的单调增区间，，判断出的单调减区间，通过单调性判断出极值的位置，求出极值；第二问，先将恒成立转化为恒成立，所以整个这一问只需证明即可，对求导，由于，所以须讨论的正负，当时，，所以判断出在上为增函数，但是，所以当时，不符合题意，当时，判断出在上为减函数，上为增函数，但是，必须证明出，所以再构造新函数，判断函数的最值，只有时符合.

试题解析：⑴解:注意到函数的定义域为,

,

当时, ,            2分

若,则;若,则.

所以是上的减函数,是上的增函数,

故,

故函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值.---5分

⑵解:由⑴知,

当时,对恒成立,所以是上的增函数,

注意到,所以时,不合题意.    7分

当时,若,;若,.

所以是上的减函数,是上的增函数,

故只需.      9分

令,

,

当时,; 当时,.

所以是上的增函数,是上的减函数.

故当且仅当时等号成立.

所以当且仅当时,成立,即为所求.    12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值、最值；3.恒成立问题.