Question

（本小题满分12分）已知函数，.

（1）若恒成立，求实数的值；

（2）若方程有一根为，方程的根为，是否存在实数，使？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在满足条件的实数.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的计算以及运用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查学生的函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力和计算能力.第一问，注意到函数的定义域中，所以先将原恒成立的不等式进行转化，设出新函数，只需证出即可，所以转化为求函数的最小值问题，对求导，讨论的正负，判断函数的单调性和最值；第二问，结合第一问的结论，判断出当或或时不合题意，当时，先求出的解，假设存在成立，得到的值，代入到中，判断有没有可能为0，设出新函数，只需判断的最小值的正负，对求导，并进行二次求导，判断函数的单调性，判断出，所以不合题意，所以不存在满足条件的实数.

试题解析：⑴解:注意到函数的定义域为,

所以恒成立恒成立,

设,

则,      2分

当时,对恒成立,所以是上的增函数,

注意到,所以时,不合题意.   4分

当时,若,;若,.

所以是上的减函数,是上的增函数,

故只需.      6分

令,

,

当时,; 当时,.

所以是上的增函数,是上的减函数.

故当且仅当时等号成立.

所以当且仅当时,成立,即为所求.       8分

⑵解:由⑴知当或时,,即仅有唯一解,不合题意;

当时, 是上的增函数,对,有，

所以没有大于的根,不合题意.     8分

当时,由解得,若存在,

则,即,

令,,

令,当时,总有,

所以是上的增函数,即,

故,在上是增函数,

所以,即在无解.

综上可知,不存在满足条件的实数.      12分

考点：1.利用导数判断函数的单调区间；2.利用导数求函数的最值.