Question

如图,已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线与x轴交于K点.

（1）求证：KF平分∠MKN；

（2）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求的最小值.

Answer

（1）见解析；（2）8.

【解析】

试题分析：（1）只需证，设出M，N两点坐标和直线MN方程，再把直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得证；（2）由（1）设出的M，N两点坐标分别先求出P、Q两点坐标，还是把设出的直线MN方程与抛物线方程联立，由韦达定理把表示出来，再根据直线MN的倾斜角的范围求的最小值.

试题解析：（1）抛物线焦点坐标为，准线方程为.       2分

设直线MN的方程为。设M、N的坐标分别为

由,   ∴.  4分

设KM和KN的斜率分别为，显然只需证即可. ∵，

∴ ，        6分

（2）设M、N的坐标分别为，由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为，由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为，    7分

设直线MN的方程为。由

∴则

     9分

又直线MN的倾斜角为，则 

∴ .10分

同理可得.  13分

(时取到等号) .       15分

考点：1、抛物线的方程及性质；2、直线与曲线相交的性质.