Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC =60°，AB=PC=2，AP=BP=．

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，需在其中一面内找一条直线与另一面垂直，此题在面PAB内过点P向AB作垂线，在三角形PCE中，再根据边长关系证PE⊥CE，从而得证；（Ⅱ）法一：先找二面角的平面角，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH，证是二面角A-PC-D的平面角，再证，在中，求的值，即得所求；法二：以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点空间坐标，设平面PAC与面PCD的法向量，根据条件找和法向量垂直的已知向量列方程组求法向量，再利用求法向量夹角的余弦值，即得所求．

试题解析：（Ⅰ）如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．     2分

PE=1，CE=，PC=2，即．

由勾股定理可得，PE⊥CE．     4分

又因为ABÌ平面ABCD，CEÌ平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．     5分

而PEÌ平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD．     7分

（Ⅱ）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．

过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．

因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．     10分

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．

由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF        13分

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．        14分

（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），

=（,1,0），=（,0,-1），

=（0,2,0）．             9分

设是平面PAC的一个法向量，

则，即．

取，可得，

．        11分

设是平面PCD的一个法向量，则，即．

取，可得，．          13分

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．     14分

考点：1、面面垂直的判定定理；2、二面角的求法.