Question

已知函数．

（I） 当，求的最小值；

（II） 若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；

（III）过点恰好能作函数图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数的取值范围．

Answer

（I）；（II）；（III）．

【解析】

试题分析：（I）先解得函数的定义域，再利用导数判断函数的单调性，并求最小值；（II）先对函数求导，由，再分离变量得，构造新函数，再利用导数求在区间上的最小值，由可求得的取值范围；（III），设两切点A、B坐标，利用导数求过点的两切线斜率，即可得方程，由条件列方程组求M、N两点的横坐标关系，根据判别式大于0可解得的取值范围．

试题解析：（I），         1分

的变化的情况如下：

—

0

+

极小值

                                                                 3分

所以，                          4分

（II） 由题意得：                            5分

函数在区间上为增函数，

当时，即在上恒成立，

，                                              7分

，

在上递增

,

                                                        10分

（III）设两切点，，

则函数在处的切线方程分别为

，

且

即     也即

即是方程的两个正根

                                                    15分

考点：1、利用导数判断函数的单调性与极值；2、分离变量法.