Question

已知数列的前项和，．

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

Answer

(I) 详见解析；（II）．

【解析】

试题分析：(I) 求证：数列是等差数列，首先确定数列的通项公式或关系式，由，求数列的通项公式或关系式，可利用来求，注意需讨论时的情况，本题由，得到数列的递推式，，根据，证明等于与无关的常数即可；（Ⅱ）求数列的前项和，需求出数列的通项公式，，这是一个等比数列与一个等差数列对应项积所组成的数列，故可用错位相减法来求．

试题解析：（I）,当时，，，        1分

当时，，                                  2分

，  ，               4分

，又，

是首项为1，公差为1的等差数列.                   7分

（II），，                                  8分

.                                         9分

，①

，     ②           11分

①－②得，

 ，      13分

.                                      14分

考点：求数列的通项公式，等差数列的定义，数列求和．