Question

如图三棱锥中，，是等边三角形.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角 的大小为，求与平面所成角的正弦值.

Answer

(I) 详见解析；（II）．

【解析】

试题分析：(I) 求证：，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，注意到，是等边三角形，可考虑取的中点，连接，只需证面即可，显然易证，从而可得；（II）若二面角 的大小为，求与平面所成角的正弦值，首先确定二面角的平面角，由（I）可知，即为二面角的平面角，所以，求与平面所成角的正弦值，关键是找在平面上的射影，注意到平面平面，可过点作，则面，则为与平面所成角，为了便于计算，可设，从而求出与平面所成角的正弦值．

试题解析：（I）取的中点，连接.                  2分

是等边三角形，，               4分

又，面，      6分

（II）由（I）及条件知，二面角的平面角为，        8分

过点作，由（I）知面，， 又，

面，                     10分

为与平面所成角，                11分

令，则，.   14分

考点：线线垂直，线面垂直，二面角，线面角．