Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，试讨论的单调性；

（Ⅱ）设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.

Answer

(I) 当时，当时，在上，，在上，，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在单调递减；当时，时,,函数在上单调递减；时,函数在上单调递增；时,函数在上单调递减；（II）实数取值范围．

【解析】

试题分析：(I) 当时，试讨论的单调性，首先确定定义域，可通过单调性的定义，或求导确定单调性，由于，含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，对函数求导得，由此需对参数讨论，分，，三种情况，判断导数的符号，从而得单调性；（II）设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围，由题意可知，当时，若对任意时，的最小值大于或等于当时的最小值即可，由（I）知，当时，在单调递减，在单调递增.，只需求出的最小值，由于本题属于对称轴不确定，需讨论，从而确定实数取值范围．也可用分离参数法来求．

试题解析：（I） =（）   3分

当时，在上，，在上，，函数在上单调递减，在上单调递增；    4分

当时，，函数在单调递减；                    5分

当时，，时,,函数在上单调递减；时,,函数在上单调递增；时,,函数在上单调递减.      7分

（II）若对任意，存在，使成立，只需       9分

由（I）知，当时，在单调递减，在单调递增.，      11分

法一：，对称轴，当，即时，，得：；

当，即时，，得：；

当，即时，，得：.           14分

综上：.                          15分

法二：

参变量分离：，                      13分

令，只需，可知在上单调递增，，.  15分

考点：函数与导数，函数单调性，存在解问题．