Question

已知抛物线上有一点，到焦点的距离为.

（Ⅰ）求及的值.

（Ⅱ）如图，设直线与抛物线交于两点，且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接.试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由.

Answer

(I)，；（II）的面积为定值，且为．

【解析】

试题分析：(I)已知抛物线上有一点，到焦点的距离为，求及的值，有焦半径公式，，及已知可得的值，又因为在抛物线上，把代入得可求的值；（II）判断的面积是否为定值？关键是写出的面积形式，解析几何中，求三角形的面积，常常采用分割法，分成两个公共底平行于坐标轴，高为坐标之差来求，本题已给出,只需求出的长即可，而的横坐标为，由此可采用设而不求，既有，得：，可得，，再由，可求出关系，可得的坐标，从而得的坐标，，这样可求出的长，得的面积，可解．

试题解析：（I）焦点,          1分

，           3分

，代入，得                   5分

（II）联立，得：，即，      6分

，                 8分

=，，    11分

  ，                        13分

的面积     15

分注：其他解法可参考给分.

考点：抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系．