Question

已知在长方体中，点为棱上任意一点，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，由长方体的性质，易证平面，从而可证平面平面；（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值，求二面角问题，可用传统方法，找二面角的平面角，但本题不易找，另一种方法，用向量法，本题因为是长方体，容易建立空间坐标系，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，利用向量的运算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）为正方形                       2分

平面                          4分

又，平面   平面平面       6分

（Ⅱ）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系     7分

设平面的法向量为，

                     9分

设平面的法向量为，

                       11分

                              13分

二面角的余弦值为                      14分

考点：面面垂直，二面角．