Question

已知椭圆的焦点为，，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过的直线与椭圆交于、两点，问在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）存在符合条件的直线的方程为：．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）已知椭圆的焦点为，，且经过点，求椭圆的方程，显然，而正好是过焦点，且垂直于轴的弦的端点，故，再由，解出即可；（Ⅱ）设过的直线与椭圆交于、两点，问在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由，此题是探索性命题，一般都是假设存在符合条件的点，根据题意，若能求出直线的方程，就存在，若不能求出直线的方程，就不存在，此题设直线的方程为，代入方程得的中点为 ， 由于四边形为平行四边形，与的中点重合，得点坐标，代入椭圆方程求出的值，从而得存在符合条件的直线的方程为：．

试题解析：（Ⅰ）                        3分

，                                        5分

 椭圆的方程为                          7分

（Ⅱ）假设存在符合条件的点,

设直线的方程为                           8分

由得:，，

，

的中点为                    10分

四边形为平行四边形，与的中点重合，即：

                              13分

把点坐标代入椭圆的方程得:

解得                                          14分

存在符合条件的直线的方程为：       15分

考点：椭圆的方程，直线与椭圆位置关系．