Question

已知数列的前项和（为正整数）

（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）令，，试比较与的大小，并予以证明

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意数列的前项和表达式，先根据求数列的通项的递推关系式，再求数列是等差数列，根据等差数列的通项求数列的通项；（2）由（1）所求数列的通项先得，再利用错位相减法求得表达式，再把与作差比较大小，可利用数学归纳法证明

试题解析：（I）在中，令n=1，可得，即

当时，，

 又数列是首项和公差均为1的等差数列

 于是

(II)由（I）得，所以

由①-②得

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由

可猜想当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设时，，

所以当时猜想成立，

综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有

证法2：

当时

，

综上所述，当时，；当时

考点：1、数列的通项及前项和；2、错位相减法求和；3、作差比较法